Работы учеников - пальцевый счет и другие приемы умножения. Могу по пальцам перечесть (пальцевый счет в истории счисления) §2

Зачем считать в уме, если решить любую арифметическую задачу можно на калькуляторе. Современная медицина и психология доказывают, что устный счет - это тренаж для серых клеточек. Выполнять такую гимнастику необходимо для развития памяти и математических способностей.

Известно множество приёмов для упрощения вычислений в уме. Все, кто видел знаменитую картину Богданова-Бельского «Устный счёт», всегда удивляются - как крестьянские дети решают такую непростую задачу, как деление суммы из пяти чисел, которые предварительно ещё надо возвести в квадрат?

Оказывается, эти дети - ученики известного педагога-математика Сергея Александровича Рачицкого (он также изображен на картине). Это не вундеркинды - ученики начальных классов деревенской школы XIX века. Но все они уже знают приёмы упрощения арифметических расчетов и выучили таблицу умножения! Поэтому решить такую задачку этим детишкам вполне под силу!

Секреты устного счёта

Существуют приемы устного счета - простые алгоритмы, которые желательно довести до автоматизма. После овладения простыми приёмами можно переходить к освоению более сложных.

Прибавляем числа 7,8,9

Для упрощения вычислений числа 7,8,9 сначала надо округлять до 10, а затем вычитать прибавку. К примеру, чтобы прибавить 9 к двузначному числу, надо сначала прибавить 10, а затем вычесть 1 и т.д.

Примеры :

Быстро складываем двузначные числа

Если последняя цифра двузначного числа больше пяти, округляем его в сторону увеличения. Выполняем сложение, из полученной суммы отнимаем «добавку».

Примеры :

54+39=54+40-1=93

26+38=26+40-2=64

Если последняя цифра двузначного числа меньше пяти, то складываем по разрядам: сначала прибавляем десятки, затем - единицы.

Пример :

57+32=57+30+2=89

Если слагаемые поменять местами, то сначала можно округлить число 57 до 60, а потом вычесть из общей суммы 3:

32+57=32+60-3=89

Складываем в уме трехзначные числа

Быстрый счет и сложение трехзначных чисел - это возможно? Да. Для этого надо разобрать трехзначные числа на сотни, десятки, единицы и поочередно их приплюсовать.

Пример :

249+533=(200+500)+(40+30)+(9+3)=782

Особенности вычитания: приведение к круглым числам

Вычитаемые округляем до 10, до 100. Если надо вычесть двузначное число, надо округлить его до 100, вычесть, а затем к остатку прибавить поправку. Это актуально если поправка невелика.

Примеры :

576-88=576-100+12=488

Вычитаем в уме трехзначные числа

Если в свое время был хорошо усвоен состав чисел от 1 до 10, то вычитание можно производить по частям и в указанном порядке: сотни, десятки, единицы.

Пример :

843-596=843-500-90-6=343-90-6=253-6=247

Умножить и разделить

Моментально умножать и делить в уме? Это возможно, но без знания таблицы умножения не обойтись. - это золотой ключик к быстрому счету в уме! Она применяется и при умножении, и при делении. Вспомним, что в начальных классах деревенской школы в дореволюционной Смоленской губернии (картина «Устный счет») дети знали продолжение таблицы умножения - с 11 до 19!

Хотя на мой взгляд достаточно знать таблицу от 1 до 10, чтобы мочь перемножать бо´льшие числа. Например :

15*16=15*10+(10*6+5*6)=150+60+30=240

Умножаем и делим на 4, 6, 8, 9

Овладев таблицей умножения на 2 и на 3 до автоматизма, сделать остальные расчеты будет проще простого.

Для умножения и деления двух- и трехзначных чисел применяем простые приёмы:

умножить на 4 - это дважды умножить на 2;

умножить на 6 - это значит умножить на 2, а потом на 3;

умножить на 8 - это трижды умножить на 2;

умножить на 9 - это дважды умножить на 3.

Например :

37*4=(37*2)*2=74*2=148;

412*6=(412*2)·3=824·3=2472

Аналогично:

разделить на 4 - это дважды разделить на 2;

разделить на 6 - это сначала разделить на 2, а потом на 3;

разделить на 8 - это трижды разделить на 2;

разделить на 9 - это дважды разделить на 3.

Например :

412:4=(412:2):2=206:2=103

312:6=(312:2):3=156:3=52

Как умножать и делить на 5

Число 5 - это половина от 10 (10:2). Поэтому сначала умножаем на 10, затем полученное делим пополам.

Пример :

326*5=(326*10):2=3260:2=1630

Еще проще правило деления на 5. Сначала умножаем на 2, а затем полученное делим на 10.

326:5=(326·2):10=652:10=65,2.

Умножение на 9

Чтобы умножить число на 9, необязательно его дважды умножать на 3. Достаточно его умножить на 10 и вычесть из полученного умножаемое число. Сравним, что быстрее:

37*9=(37*3)*3=111*3=333

37*9=37*10 - 37=370-37=333

Также давно замечены частные закономерности, которые значительно упрощают умножение двузначных чисел на 11 или на 101. Так, при умножении на 11, двузначное число как бы раздвигается. Составляющие его цифры остаются по краям, а в центре оказывается их сумма. Например: 24*11=264. При умножении на 101, достаточно приписать к двузначному числу такое же. 24*101= 2424. Простота и логичность таких примеров вызывает восхищение. Встречаются такие задачи очень редко - это примеры занимательные, так называемые маленькие хитрости.

Счет на пальцах

Сегодня еще можно встретить много защитников «пальчиковой гимнастики» и методики устного счета на пальцах. Нас убеждают, что учиться складывать и отнимать, загибая и разгибая пальцы - это очень наглядно и удобно. Диапазон таких вычислений очень ограничен. Как только расчеты выходят за рамки одной операции возникают трудности: надо осваивать следующий прием. Да и загибать пальцы в эпоху айфонов как-то несолидно.

Например, в защиту «пальчиковой» методики приводится приём умножения на 9. Хитрость приёма такова:

• Чтобы умножить любое число в пределах первой десятки на 9, надо развернуть ладони к себе.
• Отсчитывая слева направо, загнуть палец, соответствующий умножаемому числу. К примеру, чтобы умножить 5 на 9, надо загнуть мизинец на левой руке.
• Оставшееся количество пальцев слева будет соответствовать десяткам, справа - единицам. В нашем примере - 4 пальца слева и 5 справа. Ответ: 45.

Да, действительно, решение быстрое и наглядное! Но это - из области фокусов. Правило действует только при умножении на 9. А не проще ли, для умножения 5 на 9 выучить таблицу умножения? Этот фокус забудется, а хорошо выученная таблица умножения останется навсегда.

Также существует еще множество подобных приемов с применением пальцев для каких-то единичных математических операций, но это актуально пока вы этим пользуетесь и тут же забывается при прекращении применения. Поэтому лучше выучить стандартные алгоритмы, которые останутся на всю жизнь.

Устный счёт на автомате

Во-первых, необходимо хорошо знать состав числа и таблицу умножения.

Во-вторых, надо запомнить приемы упрощения расчётов. Как выяснилось, таких математических алгоритмов не так уж много.

В-третьих, чтобы приём превратился в удобный навык, надо постоянно проводить краткие «мозговые штурмы» - упражняться в устных вычислениях, используя тот или иной алгоритм.

Тренировки должны быть короткими: решить в уме по 3-4 примера, используя один и тот же приём, затем переходить к следующему. Надо стремиться использовать любую свободную минутку - и полезно, и нескучно. Благодаря простым тренировкам все вычисления со временем будут совершаться молниеносно и без ошибок. Это очень пригодится в жизни и выручит в непростых ситуациях.

Вы когда-нибудь задумывались, почему у восточных сорабанских счетчиков- математиков, которые занимаются Ментальной Арифметикой есть 4 отдельных бусинки? Они находится в базе 10, а не 4 или 5, так зачем организовать такой счет таким образом?

Ответ счета в Ментальной Арифметики может исходить только с объяснением математики пальцев. Если вы посмотрите на этот аккуратный способ подсчета до 99 на ваших двух руках, то вы поймете Соробан — Абакус! Четыре бусинки означают четыре пальца на руке и отдельную бусину для большого пальца это нашу пятерку.

Человеческая рука несет пять пальцев; у двух рук их десять. Несомненно, этот факт отвечает за универсальное принятие десятичной системы.

Дети учатся рассчитывать, считая пальцы в математике, сначала до 5 с одной стороны, а затем до 10 на две руки. Тем не менее, есть простой способ подсчитать до 10 с помощью всего 5 пальцев одной руки и до 100, используя обе руки.

Вот как это сделать:

Сложенный кулак может стоять на 10, если вы не планируете использовать секундную стрелку или 0, если вы это сделаете:

Вторая рука используется таким же образом, но для подсчета в математике 10 секунд:

С фотографиями и скриншотами из онлайн— счетов Soroban мы можем показать эту идею. Он работает лучше всего, если вы считаете. Сначала используйте четыре пальца правой руки для подсчета 1, 2, 3, 4. Это соответствует четырем шарикам в первом ряду Соробана, показанным желтым.

Затем вещи становятся немного более абстрактными. Большой палец - 5, сам по себе, точно так же, как и одинокий желтый шарик. Мы переходим от прямого подсчета к символам или иначе образности:

Вы добавляете пальцы в большой палец, чтобы подсчитать 6, 7, 8, 9. Представьте, что маленький ребенок играет с традиционными играми с пальцами с родителями. Дети могут мгновенно распознавать (сублицировать) количества от 1 до 4, но подсчет западных пальцев проходит до 10 - намного выше диапазона субтитизации. В отличие от подсчета западных пальцев, эта система вводит группы и символы (большой палец - 5), а также добавление, как только вы покидаете диапазон субтитизации. Другими словами, система следит за тем, как работают умы детей.

Что происходит, когда вы достигаете 10? Что-то очень полезное и захватывающее! Вы можете использовать другую руку, которая означает значение нового места - и новый ряд бус на абакусе. Цифры, бусины и пальцы - все вместе, как рука в перчатке.

Это интересно, читайте также:

Вот еще одно отличие этой системы от подсчета ваших 10 пальцев. Вы можете сосчитать весь путь до 99 на ваших двух руках!

И если вы объедините силы с другом, вы можете показать еще большие цифры.

В жизни люди, способные вычислять в уме, смотрятся как «суперумники», хотя в этом ничего сложного нет. Калькулятор калькулятором, а считать в уме полезно!
Как помочь ребенку выучить таблицу умножения
Ниже описаны некоторые простые приемы

Умножение на 2 или удваивание. Удваивать довольно легко, достаточно что-то сложить с самим собой. Вначале я показал на своей левой и правой руке одновременно по одному, двум, трем, четырем, пяти пальцам – так мы получили 2, 4, 6, 8, 10. Вместе с пальцами моего ученика мы дошли до двадцати, а потом я показывал на разные штуки в комнате, и предлагал сосчитать и удвоить – число букв в плакате, число символов на циферблате часов, сосчитать число спиц на одной стороне колеса велосипеда, и проверить, сойдется ли общее число с удвоенным и так далее.

Умножение на 4 и 8, 3 и 6

Когда умеешь умножать на два, это сущие пустяки. Умножить на четыре это то же, что удвоить ответ для того, что уже удвоено, например 7×4 это 7×2х2, а что 7×2 это 14 мы уже хорошо запомнили на предыдущем уроке про удваивания, так что и само 14 превратить в 28 не составит труда. Когда разобрался с четверкой, не так уж сложно разобраться и с большими числами восьмерки. По пути мы заметили, что, например, 16 это и 2×8, и 4×4. Так мы узнали, что есть числа, сплошь состоящие из двоек: 2, 4, 8, 16, 32, 64.

Умножая на 3 и 6, мы выучили старый пиратский метод «дележки на три». Если сложить цифры в числе, умноженном на 3, 6 или любом другом, которое делится на тройку, то результат сложения цифр ответа всегда кратен трем. Например, 3×5 = 15, 1+5 = 6. Или 6×8 = 48, а 4+8 = 12, кратно трем. А можно и в 12 цифры сложить, получится тоже 3, так что, если так дойти до конца, то всегда получается одно из трех чисел: 3, 6 или 9.

Так мы превратили это в еще одну игру. Я задавал какое-нибудь число, даже трех- или четырехзначное, и спрашивал, делится ли оно на 3. Для ответа достаточно сложить цифры, что довольно просто. Если число делилось на 3, то я спрашивал - «а на 6?» – и тогда нужно было просто посмотреть четное ли оно. А потом (в специальном случае небольших чисел из таблицы) иногда еще хотел узнать, что же получится при таком делении на 3 или 6. Это было очень веселое занятие.

Умножение на 5 и 7, простые числа
И вот остались у нас умножение на пятерку, семерку, и девятку. А это значит, что мы выучили умножение их на многие другие числа - на 1, 2, 3, 4, 6, 8 и 10. С пятеркой мы разобрались очень быстро – она легко запоминается: на конце либо нолик, либо пять, точно также как умножаемое число: либо четно, либо нечетно. В качестве предмета, на котором с пятерками удобно заниматься, отлично подходит циферблат часов, можно придумать множество задач про путешествия во времени и пространстве. Заодно я рассказал почему в часе шестьдесят минут, и мы поняли чем это удобно.

Мы увидели, что 60 удобно делить на 1, 2, 3, 4, 5, 6, а на 7 делить неудобно. Поэтому было самое время присмотреться к этому числу. Из умножения на семерку оставалось запомнить лишь 7×7 и 7×9. Теперь мы знали почти все, что нужно. Я объяснил, что семь просто очень гордое число – такие числа называются простые, они делятся только на 1 и на себя.

Математика может быть веселой и легкой. Познакомтесь с этой симпатичной таблицей.
Если вдумчиво ее исследовать, то не так уж много надо выучить. Всего 36 позиций. Остальные либо простые (1 х 10) либо обратимые (2 х 4 = 4 х 2). Минус 10 позиций из таблицы умножения на 9. Ее можно выучить за 5 минут. Есть такой фокус:

Итак, поехали.

Для начала положим свои руки на стол и мысленно пронумеруем пальчики слева направо от 1 до 10. Чтобы выполнить действие умножения, допустим 9 х 3 = ? , загибаем третий слева пальчик. Всё! Ответ готов: оставшиеся не загнутыми пальчики слева образуют количество десятков в ответе, а не загнутые справа - количество единиц. Считаем, и говорим ответ: 27!

Таким образом можно получить ответ для любого числа. Вот здесь, допустим, пример 9 х 7 = 63

посмотрите умножение на 9 на видео:

Управление образования администрации округа Муром

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №16»

Реферат

Пальцевый счет и другие приемы умножения

Выполнил ученик 8 класса

Красовитов Кирилл

Руководитель Кузина Г.Е.

2009

Введение3

1. Из истории пальцевого счета4

2. Приемы пальцевого счета6

3.Другие приемы умножения10

4. Современные приемы быстрого счета13

Заключение14

Список литературы15

Введение

Выбирая тему для реферата, я сразу остановился на пальцевом счете, потому что до этого не представлял, что это такое (вернее думал, что это то же самое, что и счет на палочках). Поскольку сейчас, с введением ЕГЭ, умение вычислять без калькулятора становится очень актуальным, нелишним будет подробнее ознакомитьсяс пальцевым счетом и другими приемами умножения.

Цель моей работы: выявить суть, а также преимущества и недостатки

пальцевого и других приемов счета; попытаться

обосновать их с помощью законов математики.

Задачи : - ознакомиться с историей вопроса,

Освоить приемы пальцевого счета и другие приемы умножения,

Сравнить их между собой и с современнымивычислительными

приемами.

Прежде всего я ознакомился с известными фактами из жизниЛ.Ф. Магницкого и с содержанием его «Арифметики» и убедился, что интересующий меня вопрос там представлен довольно скупо. Дополнительную информацию я получил из различных книг по истории математики.

Всю работу я разделил на четыре части, в которых осветил историю пальцевого счета, его суть у разных народов, рассмотрел некоторые приемы умножения, отличные от современного, а также привел приемы быстрого счета, которые я использую при изучении математики и в практической жизни.

1. Из истории пальцевого счета

Перед людьми, освоившими натуральный ряд чисел до некоторой достаточно далекой границы, встала необходимость создания удобных способов называния и записи чисел. Нужно было решить задачу создания устной и письменной нумерации. В разные эпохи отдельными народами эта задача решалась различно.

При значительном объеме числового множества нельзя было ограничится примитивным способом, дающем каждому числу свое особое название. Человеческая память ограниченна. Безнадежно было бы счисление, которое каждому числу присваивало бы особое название. Но люди вскоре догадались, что считать надо группами, называя группы теми же именами числительными, что и единицы, но с добавлением названий групп.

Большинство народов употребляло и употребляет десятичные группы счета или десятичную систему счисления. Для составления названий чисел по этой системе нужно иметь десять слов для названий первых десяти чисел и затем названия для новых счетных групп – сто, тысяча и т.д.

Единственной причиной, заставившей большинство народов избрать десятичную систему, является наличие у человека на руках десяти пальцев, которые служили удобнейшей вещественной основой счета. Десять пальцев – это то стандартное множество, с которым сравнивал первобытный человек всякое другое множество до тех пор, пока у него не образовалось в сознании новое стандартное множество, в виде ряда натуральных чисел. Историческую роль пальцев при образовании числовых понятий мы вспоминаем, когда советуем кому-то считать на пальцах. Об этом напоминают и языковые факты – названия числительных у разных народов: часто число 5 называют «рукой», 10 – «две руки», 20 – «весь человек», то есть две руки и две ноги.

В «Арифметике» Магницкого числа 1,2,3.4,5,6,7,8,9 называются «перстами», 0 – «низачто», полные десятки – «составами», числа, состоящие из десятков и единиц,– «сочинениями». Эти названия являются аналогами таких же названий в европейских языках. Существование у ряда народов двадцатеричной системы счисления (у майя в Центральной Америке, у басков, у кельтских народов в прежние времена) имеет, по-видимому, ту же основу – пальцевой счет.

Пальцевой счет – обозначение чисел при помощи пальцев – обладал не только большой наглядностью, но и был вызван практической потребностью. Он был необходим в торговых местах,где сталкивались представители разных народов, не имеющих общего языка. Практическая необходимость выработала общий пальцевый счет, понятный без слов, и этому счету обучали детей в школе. Римский писатель Цицерон (1 в. до н.э.) в одной из своих речей клеймит низкий уровень преподавания в римской школе, где таблица умножения заучивается только до 5, а дальнейшая ее часть восполняется счетом на пальцах.

Итак, счет по пальцам широко применялся в старину. Пальцы и их суставы, а также загибания и разгибания пальцев, складывание и вытягивание рук давали возможность людям не только считать до десятков и сотен тысяч, но и производить некоторые арифметические действия.

2. Приемы пальцевого счета

Мне удалось найти несколько приемов пальцевого умножения, применяемого разными народами.

1. Вот, например, как умножали древние римлянена пальцах числа, содержащиеся между 5 и 10:

для перемножения чисел а и в , каждое из которых больше 5 и меньше 10, нужно вытянуть на одной и другой руке столько пальцев, на сколько данные числа каждое в отдельности превышают 5; сумма чисел вытянутых пальцев дает десятки произведения; к ним надо прибавить произведение чисел, соответствующих остающимся загнутым пальцам, каждое из которых меньше 5 (до 5 таблицу умножения заучивали). Обоснованием этого приема служит тождество:

10 ((а -5)+(в -5))+(10-а)(10-в)=ав

Пример : найти произведение 7*8.

1.На одной руке вытягиваем 2 пальца, на другой 3 пальца. Сумма 2+3=5 – число десятков.

2.На одной руке загнуты 3 пальца, на другой – 2 пальца; 2*3=6- единицы.

5 десятков и 6 единиц – 56, то есть 7*8=56.

2 . В русской рукописи есть заметка о том, как поступать, когда «прежписанные изустные слова из памяти выдут, а умноженное число доведется вскоре ведати». Для этого рекомендовалось следующее:

Найти арифметические дополнения сомножителей до 10 и перемножить их – получим единицы. Десятки получаем вычитанием одного дополнения из другого числа. Обоснованием является тождество

10(в -(10-а ))+(10-а )(10-в )=ав или10(а -(10-в ))+(10-а )(10-в )=ав

Пример : найти произведение6*7.

1. Берем арифметические дополнения 4 и3 и перемножаем, получаем 12 – единицы.

2. Десятки получаем вычитанием одного дополнения из другого числа (6-3 или7-4),то есть3.

Получаем 30+12=42, то есть 6*7=42.

Л.Ф.Магницкий усовершенствовал этот способ, применив его к пальцам. К своей таблице умножения он дает интересное дополнение. Он приводит «ин способ, к утверждению таблицы, по перстом ручным сице»,и описывает его так:

«Аще хочешь ведать, сколько будет 7*7, то

1. причти к перстам левой руки от правой 2, и станет 7;

2. также и к перстам правой руки от левой, чтобы стало 7;

3. сложи причтенные персты обеих рук, будет 40;

4. остальные же с обеих рук (3 и 3) умножи между собой и будет 9;

5. приложи 40 и 9, будет 49.

По этому правилу : 8*9=(3+4)10+2*1=72,

8*6=(3+1)10+2*4=48

Эти два приемы пальцевого счета схожи друг с другом и применяются вместо таблицы умножения. Я думаю, что они интересны сами по себе, но реально удобнее все-таки знать наизусть таблицу умножения

3. До сих пор хорошо известен пальцевый прием таблицы умножения на 9 (его описывает в своей книге «Математическая смекалка» Б.А.Кордемский):

Положите ладони обеих рук на стол. Каждый палец слева направо будет означать соответствующее порядковое число: первый слева – 1, второй -2 и т. д. пусть требуется умножить число первого десятка на 9. Дляэтого стоит только, не сдвигая рук со стола, приподнять вверх тот палец, который означает множимое. Тогда число остальных пальцев, лежащих слева от поднятого пальца, будет числом десятков произведения, а число пальцев справа – числом единиц.

Я думаю, этот прием и сейчас может помочь малышам, которые только осваивают таблицу умножения

4 . Пальцевый счет был широко распространен в практической жизни и в средние века. Ирландский ученый монах Беда Достопочтенный (673-735), написавший книгу «О счете времени», посвятил целую главу счету на пальцах.

Вот как производилось, например, умножение двузначных чисел второго десятка: найти произведение 13*14:

1. Известно 10*10=100.

2. загибают на одной руке 3. а на другой 4 пальца,

3. 3+4=7, это- десятки, то есть 7*10=70,

4. 3*4=12, это единицы.

Итак:

5. 13*14=10*10+7*10+3*4=182.

Я объяснил этот прием правилом перемножения многочленов:

(10+а)(10+в)=10*10+(а+в)10+ав

Мне кажется, запоминание самого приема требует больше усилий, чем наше умножение «столбиком», хотя при достаточном опыте его можно использовать при устном счете.

Пальцевый счет, который постепенно исчезал после полного утверждения десятичной позиционной системы счисления, сохранился в Европе до XVIII века.

3. Другие приемы умножения

Кроме пальцевого счета существуют и другие приемы сокращенных и облегченных вычислений. Приемы, рекомендованные в европейских школах, выработались в Индии.

1 . В одной старинной русской рукописи описывается интересный прием «умножения крестиком», применявшийся в древней Индии под названием «молниеносного».

Пусть требуется, например, умножить 48 на 27.

1. Пишем48

х

27

2. Говорим:7х8=56

3. Пишем:6, в уме 548

х

27

6

4. Говорим:7х4=28;28+5=33;

33 в уме, 2х8=16,

16+33=49;

5. Пишем 9, в уме 4;48

х

27

9 6

6. Говорим:2х4=8;8+4=12;

7. Пишем: 12 получаем произведение 1296;48

х

27

1296

Мне этот прием совсем не показался молниеносным, сложно запомнить, что держим в уме и с чем складываем. Я считаю более простым умножение столбиком, как обычно мы делаем.

2. Умножение у древних египтян сводилось к последовательному удваиванию и сложению.

Пример . Найти произведение 15х13.

Составляем два столбца, во главе первого стоит 1, а второго - множимое 15. Этичисла последовательно удваиваются до тех пор, пока, складывая некоторые числа левого столбца, становится возможным получить множитель 13. числа правого столбца, которые надо сложить, чтобы получить искомое произведение, соответствуют отмеченным числам левого столбца.

/11515х13=(1+4+8)х15=15+60+120=195

230

/460

/8120

Пример .18х15

11518х15=240

/230

8120

/16240

3 . К староегипетскому близок так называемый «русский способ умножения», применявшийся крестьянами в дореволюционной России. Он основан на последовательной замене произведения двух сомножителей, при которой один из них повторно удваивается, а другой раздваивается до единицы.

Пример 1. Найти произведение 27х16.

2716

1084

2162

4321Итак,27х16 = 54х8 = 108х4 = 216х2 = 432х 1 = 432

Пример 2. Найти произведение 46х28.

В этом случае при раздвоении сомножителя 28 получается остаток. Его пишем в скобках в соответствующих местах.

4628Для получения произведения следует добавить числу

9214первого столбца те числа этого же столбца, которые

1 слайд

«Могу по пальцам перечесть (пальцевый счет в истории счисления) » Работа учеников 3 «Б» кл. МОУ «Лицей №2» г. Протвино Моторина Ильи Моторина Евгения

2 слайд

Часто говорят: «Знаю, как свои пять пальцев». Не с того ли далёкого времени пошло это выражение, когда знать, что пальцев пять, значило то же, что уметь считать?

3 слайд

Начало счета Первобытные люди не знали счета. Сначала они на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Научившись выделять один предмет из множества, говорили «ОДИН», если предмет был не один, то говорили «МНОГО». М Н О Г О О Д И Н

4 слайд

Постепенно люди стали приручать скот, возделывать поля и собирать урожай; появилась торговля, и тут уж без счета никак не обойтись. Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если и на двух руках не хватало, переходили на ноги. О численности группы пяти вещей человек говорил «столько же сколько пальцев на руке», о группе из 20 вещей – «столько же, сколько пальцев у человека». Появление счета на пальцах

5 слайд

6 слайд

7 слайд

«Человек» – это 20 «Два человека» – это 2 раза по 20 (40) «Рука» – это 5 «На другой руке два» – это 7 «На первой ноге три» – это 13 Первые названия чисел «Две руки» – это 10

8 слайд

Отпечатки рук в пещере Гаргас В доисторических пещерах археологи находили отпечатки рук. В пещере Гаргас во Франции, на стенах ее, запечатлена целая коллекция отпечатков, где зачастую не хватает одного, двух, трех, четырех пальцев. Это древнейшие ИЗОБРАЖЕНИЯ ЧИСЕЛ. Первые упоминания о пальцевом счете

9 слайд

Древний Египет Бог Осирис – судья в Царстве мертвых Древние Египтяне полагали, что в загробном мире душу умершего подвергают экзамену по счету на пальцах. Древнеегипетский пальцевый счет «Величественный бог на другой стороне скажет: не привел ли ты мне человека, который не может сосчитать свои пальцы?» (из заклинания для получения перевоза души в загробный мир)

10 слайд

Древнейший пример записи счета был найден в 1937г. около деревни Вестоница (Моравия). Это - кость молодого волка с записью добычи доисторических охотников. Кость относится к ХХХ веку до н.э. На кости нанесено 55 глубоких зарубок. Чтобы записать результаты своих вычислений, человек делал зарубки на костях, палках. Зарубки и засечки часто группировались по 5 по числу пальцев на руках. Первые записи вычислений Зарубки на костях

11 слайд

Б и р к и Бурятские бирки Зарубками на палках пользовались для счёта ещё совсем недавно: каких-нибудь двести лет назад. На них «записывали» подати, налоги и долги. Такие палочки назывались БИРКАМИ. Простая палочка с зарубками не только помогала считать, но и служила документом - квитанцией или распиской.

12 слайд

Развитие пальцевого счета Со временем пальцевый счет совершенствовался и развивался. С помощью пальцев можно было показать числа до 10 000. Люди научились складывать большие числа, даже умножать на пальцах. Пальцами пользовались и для поддержания вычислений в уме. Пальцевый счет (из «Арифметики» Л. Пачоли) Полное описание пальцевого счета составил ирландский монах Беда Достопочтенный (VII-VIII в.) в своей книге.

13 слайд

Известно, что китайские купцы торговались, взяв друг друга за руки и указывая цену нажатием на определенные суставы пальцев. Фраза «по рукам» как раз и выражает согласие с предложенной ценой и окончанием торга. С РАЗВИТИЕМ ТОРГОВЛИ СЧЕТ НА ПАЛЬЦАХ ПРИОБРЕЛ ОСОБОЕ ЗНАЧЕНИЕ. Ведь торговали представители разных народов, которые не имели общего языка. Выработался общий пальцевый счет, понятный без слов, и этому счету обучали детей в школе.

14 слайд

От счета по пальцам произошли многие способы счета, например пятерками, «пяткáми» (одна рука), десятками (две руки), двадцатками (пальцы рук и ног), дюжинами, «сорокáми». Счет «ПЯТКÁМИ» Племена, которые пользовались при счете пальцами только одной руки, считали пятерками (пяткáми). Отголоски такого счета сохранились и в наши дни: У нас в быту до сих пор используется счет мелких предметов “пяткáми”: пуговиц, шурупов, крупных семян, и т.д. 5

15 слайд

Большинство народов считают ДЕСЯТКАМИ. Счет ДЕСЯТКАМИ 10 ДЕСЯТКОВ – это одна СОТНЯ 10 ЕДИНИЦ – это один ДЕСЯТОК Счет десятками возник 3 – 2,5 тысячи лет до нашей эры в Древнем Египте. Египетский бог Тот – бог мудрости,счета и письма 10

16 слайд

В сказке П.П. Ершова «Конек-Гобунок» при покупке златогривых коней Иван считает «пятками», а более образованный царь – десятками: “Ну, я пару покупаю! Продаешь ты?”-”Нет, меняю”. “Что в промен берешь добра?”- “Два-пять шапок серебра!” “То есть это будет десять” Царь тотчас велел отвесить.

17 слайд

С ч е т « с о р о к á м и » Счет «сорокáми» был распространен в Древней Руси. Название числа сорок появилось 800 лет назад. Слово «сорок» произошло от названия «сорóчка». В те времена звероловы подсчитывали шкурки зверьков мешками («сорóчками») . В каждом мешке хранилось по 40 беличьих шкурок или по 40 собольих хвостов, шедших в XVI веке на пошив одной боярской шубы, которую тоже именовали «сорóчкой». Боярская шуба - ”сорóчка” Меховые деньги

18 слайд

Как считали сороками Насчитав на правой руке 8 единиц, счетчик загибал палец левой руки. Операция счета заканчивалась, когда оказывались загнутыми все 5 пальцев левой руки. Пять восьмерок, или 40, составляли счетную группу – сорочόк. Это вычисление происходит от счета по суставам пальцев. Сибирские звероловы до начала ХХ века считали большим пальцем по двум суставам остальных четырех пальцев правой руки. Звероловы Древней Руси

19 слайд

Число 40 долго служило названием очень большого числа. Неслучайно в русском языке слово “сороконожка” всегда имело смысл “многоножки”. Московские церкви считались также “сороками”. Еще в XVII веке говорили, что в Москве “сорок сороков церквей”, хотя на самом деле их было всего около ста. О том, что число 40 на Руси когда-то играло особую роль при пальцевом счете, говорят и некоторые связанные с ним поверья. Так, сорок первый медведь считался роковым для русского охотника.

20 слайд

Счет ДЮЖИНАМИ по суставам пальцев …Когда же ты снова пришлешь к нашему ужину ДЮЖИНУ новых и сладких калош! Счет ДЮЖИНАМИ основан на подсчете числа фаланг на руке “счетовода” и похож на счет сорокáми. Сосчитав 12 фаланг на левой руке, “счетовод” загибал на правой руке один палец. Когда все пальцы правой руки оказывались сжатыми в кулак, счет завершался Получалось 12 пятерок, то есть 60. Кулак означал пятерку дюжин, то есть “шестьдесят”. 12

21 слайд

Следы счета дюжинами и счета по шестьдесят в наши дни 6 и 12 персон в году 12 месяцев 360 градусов (60х6) 12 часов и 60 минут гарнитур 12 предметов

22 слайд

Примеры умножения на пальцах Метод простой. Допустим, нам нужно умножить 7 на 9. Повернём руки ладонями к себе и загнём седьмой палец (начиная считать от большого пальца слева). Число пальцев слева от загнутого будет равно десяткам, а справа - единицам искомого произведения. С П О С О Б 1 Таблица умножения на 9 7 х 9 = 63